絶対値を簡単に説明すると、「数の大きさ」を表します。例えば、数直線で「0」からその数までの距離です。絶対値を外すための基本的なルールを紹介
絶対値
絶対値のルール
- 正の数や0の場合
- 絶対値を外してもそのままの値
- 例：｜5｜＝5、｜0｜＝0
- 負の数の場合
- 絶対値を外すと「プラス」に変わる。
- 例：｜-5｜＝5
つまり、絶対値はどんな数でも「プラス」の形になる。
わかりやすいイメージ
- 絶対値は「どれだけ離れているか」を示すものなので、負の数も距離としてはプラスになる。例えば、家から学校までの距離が-5キロってことはありえない。よって、絶対値はその「距離」を表している。
- 問題1: ｜7｜はどうなる？
- 答え: 7（正の数なのでそのまま）
- 問題2: ｜-3｜はどうなる？
- 答え: 3（負の数なのでプラスに変わる）
このように、絶対値は「0からの距離」と考えるとわかりやすい。
偶関数、奇関数
偶関数と奇関数を簡単に説明すると、「左右対称性」に関する性質を持った関数
偶関数 (Even Function)
偶関数は、グラフがy軸に対して対称な関数。つまり、x軸の左側と右側で同じ形をしている。
定 義
偶関数は次の式で表される。
[ f(-x) = f(x) ]
これは、xの値をプラスにしてもマイナスにしても、関数の値（yの値）が変わらないということ
例
- y = x²（放物線のグラフ）
- この関数では、xが正でも負でも、yの値は同じ。例えば、x = 2 のとき y = 4、x = -2 のときも y = 4。
- グラフで見ると、左右対称
見 方
偶関数は、y軸を折り返すと、グラフが重なるような形になる。
奇関数 (Odd Function)
奇関数は、原点（0,0）を中心に回転対称な関数。つまり、x軸の左側と右側で逆向きになりる。
定 義
奇関数は次の式で表される。
[ f(-x) = -f(x) ]
これは、xの値をプラスにするときとマイナスにするときで、関数の値が符号が逆になるということです。
例
- y = x³（立方のグラフ）
- この関数では、x = 2 のとき y = 8、x = -2 のとき y = -8。つまり、xの符号が変わるとyの符号も変わる。
- グラフは、原点を中心に180度回転させると重なる。
見 方
奇関数は、原点を中心に180度回転させると、グラフが一致するような形
偶関数、奇関数のまとめ
- 偶関数は、y軸に対して対称な関数（左右対称）。
- 例: ( f(x) = x² )
- 奇関数は、原点を中心に回転対称な関数。
- 例: ( f(x) = x³ )
このように、関数の形がどちらに対称かで、偶関数か奇関数かが決まる。
逆関数、合成関数
逆関数と合成関数は、関数の操作に関する重要な概念。
逆関数 (Inverse Function)
逆関数とは、ある関数が元々の入力（x）を出力（y）に変えたとき、その逆に、出力（y）から元の入力（x）を再び求める関数のこと。
イメージ
逆関数は「元に戻す関数」と考える。
定 義
ある関数 ( f(x) ) の逆関数を ( f^{-1}(x) ) と書く。
- f(x) = y なら、逆関数 ( f^{-1}(y) = x )** になる。
例
- y = 2x + 3 の逆関数を求めてみる。
つまり、元の関数が入力から出力を求めるのに対し、逆関数はその出力から元の入力を再び求める役割を持っている。
合成関数 (Composite Function)：
合成関数は、2つの関数を組み合わせて新しい関数を作る操作。具体的には、ある関数の出力を別の関数の入力として使う形
イメージ
合成関数は、「2段階の変換」と考えるとわかりやすい。例えば、ジュースを作る機械（1つ目の関数）と、それを瓶詰めする機械（2つ目の関数）があったとき、ジュースを作ってから瓶詰めするという流れが合成関数
定 義
2つの関数 ( f(x) ) と ( g(x) ) があったとき、合成関数は次のように書く。
これは、まず ( g(x) ) を計算して、その結果をさらに ( f(x) ) に代入して計算する、という意味
例
- ( f(x) = 2x + 1 ) と ( g(x) = x² ) という2つの関数があったとする。
このように、合成関数は2つの関数を順に適用する操作です。
逆関数、合成関数まとめ
- 逆関数は、関数が変換した結果を「元に戻す」関数。
- 例: 関数 ( f(x) = 2x + 3 ) の逆関数は
- 合成関数は、2つの関数を組み合わせて「順番に」変換する関数。
- 例: ( f(x) = 2x + 1 ) と ( g(x) = x² ) の合成関数は ( f(g(x)) = 2x² + 1 )。
どちらも、関数の操作の理解を深めるためにとても役立つ概念です。
合成関数をもう少しわかりやすく説明
合成関数の基本的な仕組みをもう少し詳しく説明。まず「g(x) = x²」に焦点をあてて考える。
g(x) = x² の意味
関数 g(x) = x² というのは、「x の値を2乗する」という意味。だから、具体的な値が与えられると、それを2乗して計算する。
具体例
- x = 3 の場合：
- g(3) = 3² = 9
- x = -2 の場合：
- g(-2) = (-2)² = 4
これが、関数 g(x) の計算の基本的な流れ。g(x) は入力値 x を2乗して出力を得る関数
合成関数の説明
今、関数 ( f(x) ) と ( g(x) ) があるとき、合成関数 ( f(g(x)) ) は、まず g(x) を計算し、その結果を f(x) に代入するという手順で計算する。
例えば、以下の関数があるとする。
- g(x) = x²
- f(x) = 2x + 1
合成関数の計算手順：
- まず、g(x) を計算する。つまり、x の2乗を求める。
- 次に、その結果を f(x) の中に代入する。
具体的な例で考えてみる。
例
( (f ◦) を計算します。
- g(x) = x² を計算します。
- 例えば、x = 3 なら、g(3) = 3² = 9。
- 次に、この結果を f(x) に代入する。
- ( f(x) = 2x + 1 ) なので、今得た g(3) = 9 を f(x) に代入すると、
- f(9) = 2(9) + 1 = 18 + 1 = 19。
つまり、( f(g(3)) ) の結果は 19 になる。
合成関数まとめ
- g(x) = x² は、「x の値を2乗する」関数
- 合成関数 f(g(x)) は、まず g(x) を計算し、その結果を f(x) に代入して計算する。
